如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC
如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标： (1，) ．
②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．
考点：
切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题；证明题。
分析：
(1)①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标；②推出CE＝AE，BC∥OA，推出∠HCE＝∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可；(2)连接DE并延长DE交CB于M，求出DD＝OC＝OA，证△CME≌△ADE，求出CM＝AD＝1，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH＝HF＝x，推出(1－x)2＋()2＝(＋x)2，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y＝kx＋b，把G、H的坐标代入求出即可；(3)连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO＝∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE＝∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出，设半径为r，代入求出即可．
(1)①E的坐标是：(1，)，故答案为：(1，)；②证明：∵矩形OABC，∴CE＝AE，BC∥OA，∴∠HCE＝∠EAG，∵在△CHE和△AGE中，∴△CHE≌△AGE，∴AG＝CH．(2)连接DE并延长DE交CB于M，∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，∴CM＝AD＝2－1＝1，∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，∴MD切⊙O于D，∵得HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝，∴H(，1)，OG＝2－＝，又∵G(，0)，设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，解得：k＝－，b＝，∴直线GH的函数关系式为y＝－．(3)连接BG，∵在△OCH和△BAG中，∴△OCH≌△BAG，∴∠CHO＝∠AGB，∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE，在△HOE和△GBE中，∴△HOE≌△GBE，∴∠OHE＝∠BGE，[来源:学科网]∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA，∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，∴△GPN∽△GBA，∴，设半径为r，＝，解得：r＝，答：⊙P的半径是．
点评：
本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．