这类似于斐波那契数列【斐波那契数列通项公式的推导】　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

　　如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+).那么这句话可以写成如下形式：

　　F(0)=0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)

　　显然这是一个线性递推数列.

　　通项公式的推导方法一：利用特征方程

　　线性递推数列的特征方程为：

　　X^2=X+1

　　解得

　　X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2

　　则F(n)=C1*X1^n+C2*X2^n

　　∵F(1)=F(2)=1

　　∴C1*X1+C2*X2

　　C1*X1^2+C2*X2^2

　　解得C1=1/√5,C2=-1/√5

　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）

　　通项公式的推导方法二：普通方法

　　设常数r,s

　　使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

　　则r+s=1,-rs=1

　　n≥3时,有

　　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]

　　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]

　　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]

　　……

　　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]

　　将以上n-2个式子相乘,得：

　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]

　　∵s=1-r,F(1)=F(2)=1

　　上式可化简得：

　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

　　那么：

　　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*F(n-2)

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*F(n-3)

　　……

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*F(1)

　　=s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)

　　（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）

　　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

　　=(s^n-r^n)/(s-r)

　　r+s=1,-rs=1的一解为s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2

　　则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}

　　迭代法

　　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式

　　解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))

　　得α+β=1

　　αβ=-1

　　构造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2

　　所以

　　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1

　　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2

　　由式1,式2,可得

　　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3

　　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4

　　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}

　　`````