高三数学题已知a>0,函数f(x)=x-ax^-inx..(-查字典问答网
分类选择

来自黄伟志的问题

  高三数学题已知a>0,函数f(x)=x-ax^-inx..(1)若f(x)是单调函数,求实数a的取值范围,(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明,f(x1)+f(x)2>3-2in2.

  高三数学题

  已知a>0,函数f(x)=x-ax^-inx..

  (1)若f(x)是单调函数,求实数a的取值范围,

  (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明,f(x1)+f(x)2>3-2in2.

3回答
2019-09-29 10:31
我要回答
请先登录
陈崇超

  (Ⅰ)f(x)=-lnx-ax2+x,

  导函数g(x)=-1/x-2ax+1=-(2ax+1/x)+1

  根据基本不等式得g(x)≤-2根号(2a)+1

  ∵f(x)单调

  ∴上式小于等于0

  ∴a∈[1/8,+∞).

  当0<a<1/8时,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,

  不妨设x1<x2,

  则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f(x)>0,

  这时f(x)不是单调函数.

  综上,a的取值范围是[1/8,+∞).

  (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当a∈(0,18)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2,

  且x1+x2=12a,x1x2=12a.

  f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax21+x1-lnx2-ax22+x2

  =-(lnx1+lnx2)-12(x1-1)-12(x2-1)+(x1+x2)

  =-ln(x1x2)+12(x1+x2)+1=ln(2a)+14a+1.

  令h(a)=ln(2a)+14a+1,a∈(0,18],

  则当a∈(0,18)时,h'(a)=1/a-14a^2=4a-14a^2<0,h(a)在(0,1/8)单调递减,

  所以h(a)>g(1/8)=3-2ln2,即f(x1)+f(x2)>3-2ln2.

2019-09-29 10:33:51
黄伟志

  谢谢,,对的吗,?

2019-09-29 10:34:42
陈崇超

  应该没问题,你是做作业还是考试呢?

2019-09-29 10:38:37

最新问答

推荐文章

猜你喜欢

附近的人在看

推荐阅读

拓展阅读

  • 大家都在看
  • 小编推荐
  • 猜你喜欢
  •