平行四边形

　　定义:在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

　　判定：

　　（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

　　（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

　　（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

　　（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

　　（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

　　性质：

　　（1）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.

　　（2）平行四边形的对角相等,两邻角互补.

　　（3）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.

　　（4）平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.

　　（5）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形）

　　（6）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分.*注：正方形,长方形以及菱形也是一种特殊的平行四边形.

　　（7）平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）.

　　(8)平行四边形对角相等,对边平行且相等,邻角互补（相加角度为180度）.矩形,菱形,正方形都是特殊的平行四边形.

　　矩形

　　定义：

　　有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形矩形的对角线相等,四个角都是直角

　　性质：

　　1．矩形的两个角都是直角

　　2．矩形的对角线相等

　　3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等

　　4．矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）,它有两条对称轴.

　　5．矩形具有平行四边形的所有性质

　　正方形

　　定义：

　　在同一平面内四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形.

　　有一组邻边相等的矩形是正方形.

　　有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形.

　　有一个角为直角的菱形是正方形.

　　四边形对角线相等且互相垂直平分

　　性质：

　　1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

　　2、内角：四个角都是90°；

　　3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

　　4、对称性：既是中心对称图形,又是轴对称图形（有四条对称轴）.5、形状：正方形也属于长方形的一种.

　　判定：

　　1：对角线相等的菱形是正方形.

　　2：对角线互相垂直的矩形是正方形

　　3：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形.

　　4：一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形.

　　5：一组邻边相等的矩形是正方形.

　　6：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

　　7：四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

　　8：有一个角为直角的菱形是正方形.

　　9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形.

　　菱形

　　定义：在一个平面内一组邻边相等的平行四边形是菱形

　　性质：

　　1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；

　　2、四条边都相等；

　　3、对角相等,邻角互补；

　　4、每条对角线平分一组对角,

　　5、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,

　　6、在60°的菱形中,短对角线等于边长,长对角线是短对角线的√3倍.7、菱形具备平行四边形的一切性质.

　　判定：

　　1、一组邻边相等的平行四边形是菱形

　　2、四边相等的四边形是菱形

　　3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形

　　4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

　　依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形.菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形,对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形.）

　　菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.