第一题：

　　设ABC三点分别为（x1,y1）、（x2,y2）,（x3,y3）,垂心H为（m,n）,AB斜率为K12,BC斜率为K23,AC斜率为K13.先证明一个结论：m=K13/x2

　　由y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3=>y1-y2=1/x1-1/x2=(x2-x1)/(x1*x2)和y2-y3=(x3-x2)/(x2*x3)

　　=>(y2-y1)/(x2-x1)=-1/(x1*x2).(1)

　　(y3-y2)/(x3-x2)=-1/(x2*x3).(2)

　　因为H是三角形ABC的垂心,则

　　(y3-y2)/(x3-x2)*(y1-n)/(x1-m)=-1.(3)

　　(y2-y1)/(x2-x1)*(y3-n)/(x3-m)=-1.(4)

　　将(1)(2)代入得

　　y1-n=x1*x2*x3-m*x2*x3

　　y3-n=x1*x2*x3-m*x1*x2

　　两式相减得：

　　y1-y3=x2*m*(x1-x3)

　　=>m=k13/x2=k13*y2=>K13=x2*m

　　所以上述结论成立

　　下面利用这个结论证明：m*n=1

　　由(3)(4)式知

　　K13*(y2-n)/(x2-m)=-1代入K13=x2*m

　　得:x2*m*y2-m*n*x2=-x2+m

　　=>m-m*n*x2=-x2+m

　　=>m*n=1

　　所以△ABC的垂心H也在该双曲线上

　　第二题：

　　由第一题可知,正三角形ABC的垂心在双曲线xy=1上,由等边三角形及双曲线xy=1的对称性可知,该三角形的垂心为直线y=x与双曲线xy=1在第一象限内的交点,从而可知垂心H坐标为（1,1）,可计算出H到C点的距离为2√2,易知HC线段的长度为该正三角形顶点C到边AB距离为3√2,从而推出该正三角形的变长为2√6.过顶点C向AB做垂线交AB于D,易知D点坐标为D（2,2）.易知该正三角形的边AB所在直线方程为y=-x+4.由该直线方程y=-x+4与双曲线方程xy=1联立,即可得到A、B两点坐标分别为A（2+√3,2-√3）B（2-√3,2+√3）或A（2-√3,2+√3）B（2+√3,2-√3）

　　既然是启东的学生,一些很容易推理的过程我也就省了,声的说我啰嗦撒,呵呵.

　　第一题只要证明出来,第二题很easy的.

　　望采纳,谢谢