一、选择题：本大题共有8个小题,每小题5分,共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.

　　题号12345678

　　答案CADBCADC

　　二、填空题：本大题共有6个小题,每小题5分,共30分；请把答案写在相应的位置上.

　　题号91011121314

　　答案

　　5

　　三、解答题：本大题共有6个小题,共80分；解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

　　15.（本小题满分13分）

　　（Ⅰ）∵,

　　∴由正弦定理知：,

　　∵是三角形内角,

　　∴,从而有,

　　∵,

　　∴=.……………………………………………………………………………6分

　　（Ⅱ）将代入得：

　　,

　　利用两角和与差的余弦公式展开得：；．

　　相应的有：=,

　　∴的面积为.………………………………………………………………13分

　　16.（本题满分13分）

　　证明：（Ⅰ）连结和交于点,连．

　　∵是正三棱柱,

　　∴为的中点.又为棱中点,

　　∴在中,,又,平面,

　　∴‖平面；…………………………………………………………………6分

　　（Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系,

　　∵,,,

　　,,

　　∴,

　　设平面的法向量为n,

　　∴,即,令,得n,

　　∵∴,

　　∴与平面所成的角正弦值为.………………………………………13分

　　17.（本题满分13分）

　　（I）设“世博会会徽”卡有张,由,得,

　　故“海宝”卡有4张,抽奖者获奖的概率为；…………………………………6分

　　（Ⅱ）的分布列为；

　　01234

　　∴,．…………………………………………13分

　　18.（本题满分13分）

　　（Ⅰ）设,的图象经过坐标原点,所以c=0.

　　∵∴

　　即：

　　∴a=1,b=0,；…………………………………………………………………4分

　　（Ⅱ）函数的定义域为．,

　　令,,,

　　∵,∴,在上恒成立,

　　即,当时,函数在定义域上单调递减．………………9分

　　（III）当时,,令

　　则在上恒正,

　　∴在上单调递增,当时,恒有.,

　　即当时,有,

　　对任意正整数,取得．…………………………………………13分

　　19.（本题满分14分）

　　（Ⅰ）直线与轴的交点为N（0,1）,圆心C（2,3）,设M（,）,

　　∵与所在直线垂直,∴,（,

　　当时不符合题意,当时,符合题意,

　　∴中点的轨迹方程为：,.……………6分

　　（Ⅱ）设,

　　∵,且,∴

　　将代入方程得,

　　∵,

　　∴4=,

　　∴=,……………………………………………………………10分

　　∵由,∴,∵得,

　　∴时,的最大值为.………………………………………………………………14分

　　20.（本题满分14分）

　　（Ⅰ）=1；

　　===1；………………………………4分

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）得,即

　　由,……………①

　　得…………②

　　由①＋②,得∴,…10分

　　（Ⅲ）∵,∴对任意的.

　　∴即.

　　∴.

　　∵∴数列是单调递增数列.

　　∴关于n递增.当,且时,.

　　∵

　　∴∴∴.而为正整数,

　　∴的最大值为650.…………………………………………………………………………………14分