来自陈俊风的问题
已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
1回答
2020-12-23 06:06
已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
先求K,根据f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数,得到f(x)=f(-x)x0d即log4(4^x+1)+kx=log4[1/(4^x)+1]-kx可得出k=-1/2x0d再求实数a的取值范围x0d由f(x)与h(x)图象只有一个公共点即:y=f(x)-h(x)有且只有一个零点则log4(4^x+1)+kx=log4(a*2^x-4a/3)x0d由h(x)定义域有:a*(2^x-4/3)>0,当x>log2(4/3)时,a>0x0d当x<log2(4/3)时,a<0x0d下面验证是否只有一个解并求出该x0d为了使f(x)=h(x)(为书写简化先设2^x=t)x0d即(a-1)t^2-4a/3t-1=0(*)x0d为了使t=2^x有且只有一个解,(*)中必须满足△=b^2-4ac=0此时f(x)=h(x)的唯一解为t=2^x=-b/(2a)x0d即当16/9a^2+4(a-1)=0时f(x)=h(x)有唯一解得a1=-3对应的唯一解为t=2^x={4a/3}/{2(a-1)}=1/2也即x=-1x0d或者a2=3/4对应的唯一解为t=2^x={4a/3}/{2(a-1)}=-2即x=log2(-2)应舍去x0d综上所述:当且仅当a=-3时,有且只有一个零点,且该解为x=-1