【正态分布的数学期望已知X~N(0,1),求X的四次方的期望-查字典问答网

来自朴松昊的问题

　　【正态分布的数学期望已知X~N(0,1),求X的四次方的期望值是多少】

　　正态分布的数学期望

　　已知X~N(0,1),求X的四次方的期望值是多少

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2020-12-23 01:27

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安维嵘

　　E(x^4)

　　=∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx积分区间（-∞,+∞）

　　=2∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx积分区间（0,+∞）

　　分步积分.

　　=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）dx

　　=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）

　　+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx

　　积分区间（0,+∞）

　　1/√(2π)∫e^（-x^2/2）dx=1/2

　　2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3

　　而2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）

　　=2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）

　　利用罗必塔法则,

　　lim2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）=0

　　所以E(x^4)=3

2020-12-23 01:29:27