（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，∴，解得a=，b=，c=3，

　　∴抛物线的解析式为：y=x2+x+3；

　　其对称轴为：x=﹣=1．

　　（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，

　　可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点．

　　如答图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA+MB=MA+MC=AC，

　　根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．

　　设直线AC的解析式为y=kx+b，

　　∴A（4，0），C（0，3），∴，解得k=，b=3，

　　∴直线AC的解析式为：y=x+3，令x=1，得y=，

　　∴M点坐标为（1，）．

　　（3）结论：存在．如答图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：

　　①若BC∥AP1，此时梯形为AB∥CP1．由B（2，3），C（0，3），

　　可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求．

　　抛物线解析式为：y=x2+x+3，令y=0，

　　解得x1=﹣2，x2=4，

　　P1（﹣2，0）．P1A=6，BC=2，P1A∥BC，∴四边形ABCP1为梯形；

　　②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．设CP2与x轴交于点N，

　　∴BC∥x轴，AB∥CP2，

　　∴四边形ABCN为平行四边形，

　　∴AN=BC=2，N（2，0）．设直线CN的解析式为y=kx+b，

　　则有：，解得k=，b=3，

　　∴直线CN的解析式为：y=x+3．

　　点P2既在直线CN：y=x+3上，

　　又在抛物线：y=x2+x+3上，

　　x+3=x2+x+3，化简得：x2﹣6x=0，

　　解得x1=0（舍去），x2=6，

　　∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为﹣6，

　　∴P2（6，﹣6）．

　　∵□ABCN，

　　AB=CN，而CP2∥CN，

　　∴CP2∥AB，∴四边形ABCP2为梯形．

　　综上所述，在抛物线上存在一点P，

　　使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；

　　点P的坐标为（﹣2，0）或（6，﹣6）．