（1）x=O和x=4时，y的值相等，即可得到函数的对称轴是x=2，把x=2和x=3分别代入直线y=4x-16就可以求出抛物线上的两个点的坐标，并且其中一点是顶点，利用待定系数法，设出函数的顶点式一般形式，就可以求出函数的解析式；

　　（2）根据待定系数法可以求出直线OM的解析式，设OQ的长为t，即P，Q的横坐标是t，把x=t代入直线OM的解析式，就可以求出P点的纵坐标，得到PQ的长，四边形PQCO的面积S=S△COQ+S△OPQ，很据三角形的面积公式就可以得到函数解析式；

　　（3）从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值；

　　（4）在直角△OPQ中，根据勾股定理就可以求出点P的坐标．

　　【解析】

　　（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等，

　　∴c=16a+4b+c，（1分）

　　∴b=-4a，

　　∴x=-=-=2

　　将x=3代入y=4x-16，得y=-4，

　　将x=2代入y=4x-16，得y=-8．（2分）

　　∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-8

　　将点（3，-4）代入，得-4=a（x-2）2-8，

　　解得a=4．

　　∴抛物线y=4（x-2）2-8，即y=4x2-16x+8．（3分）

　　（2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，-8）代入，得k=-4，

　　∴y=-4x．（4分）

　　则点P（t，-4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t．

　　S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t2+4t（5分）

　　t的取值范围为：0＜t≤2（6分）

　　（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值．

　　从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，

　　即S不断变大，显然当点P运动到点M时，S值最大（7分）

　　此时t=2时，点Q在线段AB的中点上（8分）

　　因而S=×2×8+×2×8=16．

　　当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ，

　　∴四边形PQCO是平行四边形．（9分）

　　（4）随着点P的运动，存在t=，能满足PO=OC（10分）

　　设点P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t．

　　由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2．

　　∵PO=OC，

　　∴17t2=82，t1=＜2，t2=-（不合题意）

　　∴当t=时，PO=OC．（11分）