这是一致连续性定理,也可称为康托定理,具体证明过程可参考任何一本《数学分析》.

　　书中所述过于抽象,现在说下比较好理解的方法:

　　首先是看连续的问题:

　　连续是指在区间某一点上的一个很小的范围内,当自变量x的变化微小时,f(x)的变化也是微小的.

　　当对于区间上任意一点符合连续的定义的话,则称为区间上的连续.而如果区间是闭区间的话,就可以称为一致连续.

　　开区间不能的原因是在端点处:由于在其端点处没有定义,那么在端点附近的一个区域可以看作是及其不稳定或含杂质的区域.在这个区域内可能会发生当自变量仅做很小变化的时候却引起f(x)变化的陡增或者无定义.则不能叫做一致连续

　　下面是某位达人做的更通俗易懂的解释:

　　假设定义"美女"

　　在某一个区间内(假设范围是一所学校,一个房间)

　　函数的情况如下:

　　美女,美女,美女,美女,美女,美女,美女,美女,美女,美女(一共10个美女)

　　那么在这个区间内对应的任意一个人都是"美女",则称为区间内的"美女"连续

　　但是如果函数的定义如下:

　　",美女,美女,美女,美女,美女,美女,美女,美女,"(中间8个是美女,端点处的是无定义)

　　这就很恐怖了.因为没有定义,就可能会是"恐龙"或者"美女"或者"男的".所以虽然满足在开区间是连续的,但是不能满足一致连续.

　　也就是说:

　　一致连续是区间连续的更严格的定义.