【已知函数f（x）=ex-a（x-1），x∈R，其中a为实数-查字典问答网

来自汪剑平的问题

　　【已知函数f（x）=ex-a（x-1），x∈R，其中a为实数．（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值．（2）记函数g（x）f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线】

　　已知函数f（x）=ex-a（x-1），x∈R，其中a为实数．

　　（1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值．

　　（2）记函数g（x）f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），当a＞1时，求S（a）的最小值；

　　（3）当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+f′（x）+x3-2x2≥0恒成立，求实数a的取值范围．

1回答

2020-12-23 21:08

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汪翔

　　：（1）由f'（x）=ex-a=0，得x=lna．

　　①当a∈（0，1]时，f'（x）=ex-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值．

　　②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．

　　x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

　　x（0，lna）lna（lna，+∞）f′（x）-0=f（x）单减极小值单增由此可得，函数有极小值且f（x）极小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．

　　（2）g（x）=f（2x）=e2x-a（2x-1），g（0）=1+a

　　切线斜率为k=g'（0）=2-2a，切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），

　　由x=0，y=1+a，由y=0，x=a+12(a−1)

2020-12-23 21:10:52