设函数f(x)在(a,+∞)上可导,limf'(x)-查字典问答网
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来自何荣希的问题

　　设函数f(x)在(a,+∞)上可导,limf'(x)=0,求证:limf(x)/x=0不要使用罗比达定理,用拉格朗日中值定理证明.如果回答正确小弟会额外给50分

　　设函数f(x)在(a,+∞)上可导,limf'(x)=0,求证:limf(x)/x=0

　　不要使用罗比达定理,用拉格朗日中值定理证明.

　　如果回答正确小弟会额外给50分

1回答
2020-12-24 23:53
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宋庆文

　　对任意的ε>0,存在X>a,当x>X1时,|f′(x))X1,则存在X2>X1,当x>X2时,|f(c)|/xX2时,有

　　|f(x)/x|=|{f(x)-f(c)}/x+f(c)/x|≤|{f(x)-f(c)}/x|+|f(c)/x|

　　≤|{[f(x)-f(c)]/(x-c)}|+|f(c)/x|

　　=|f′(ξ)|+|f(c)/x|

　　≤ε/2+ε/2=ε

　　所以limf(x)/x=0

2020-12-24 23:57:26

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