【已知f(x)在[0,1]上连续且在(a,b)内可导,又f(-查字典问答网

来自李天华的问题

　　【已知f(x)在[0,1]上连续且在(a,b)内可导,又f(0)=0,0≤f'(x)≤1证明(∫(0~1)f(x)dx)^2≥∫(0~1)f(x)^3dx】

　　已知f(x)在[0,1]上连续且在(a,b)内可导,又f(0)=0,0≤f'(x)≤1证明(∫(0~1)f(x)dx)^2≥∫(0~1)f(x)^3dx

1回答

2020-12-25 13:34

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钱晓明

　　设g(u)=(∫(0~u)f(x)dx)^2-∫(0~u)f(x)^3dx,0=0,则f(u)单增,f(0)=0,则f(u)>=0

　　下面将中括号里的部分设为一个新的函数h(u)=2∫(0~u)f(x)dx-f(u)^2

　　h'(u)=2f(u)-2f(u)f'(u),由于f(u)>=0,00

　　因此h(u)为单增函数,由h(0)=0知,h(u)>=0

　　因此g'(u)=f(u)h(u)>=0,则g(u)单增

　　g(1)>=g(0)=0

　　则(∫(0~1)f(x)dx)^2-∫(0~1)f(x)^3dx>=0

　　即原式成立

2020-12-25 13:37:43

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