【一道高数题,设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,证明至少存在一点ε∈(a,b),使得f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)={f''(ε)*[(b-a)^2]}/4】
一道高数题,
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,证明至少存在一点ε∈(a,b),使得f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)={f''(ε)*[(b-a)^2]}/4
这种经典难题啊阁下估计也没什么分10分就10分吧
这种题难就难在那个辅助函数的构造.辅助函数构造对了,证明也就简单了.
首先：
f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)
=f(b)-f[(a+b)/2]-[f[(a+b)/2]-f(a)]---------------C
变换技巧就在于：
b=(a+b)/2+(b-a)/2-----------------A
(a+b)/2=a+(b-a)/2-----------------B
将A,B带入C得：
f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)
=f((a+b)/2+(b-a)/2)-f[(a+b)/2]-[f[a+(b-a)/2]-f(a)]
这时即可构造关键的辅助函数可令：
g(x)=f(x+(b-a)/2)-f(x)
容易看出：
f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)
=g((a+b)/2)-g(a)
下面再运用两次Lagrange中值定理即可解决：
f(b)-2f[(a+b)/2]+f(a)
=g((a+b)/2)-g(a)
=g'(ε1)*[(a+b)/2-a]
=g'(ε1)*(b-a)/2----------------------D
其中a