鸡兔同笼问题

　　例1（古典题）鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?

　　分析如果46只都是兔,一共应有4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少4-2=2（只）脚.那么,46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢?显然,56÷2=28,只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以,鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18.

　　①鸡有多少只?

　　（4×6-128）÷（4-2）

　　=（184-128）÷2

　　=56÷2

　　=28（只）

　　②免有多少只?

　　46-28=18（只）

　　答：鸡有28只,免有18只.

　　我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来,解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

　　鸡数=（每只兔脚数×兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　兔数=鸡兔总数-鸡数

　　当然,也可以先假设全是鸡.

　　例2鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?

　　分析这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢?

　　假设100只全是鸡,那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0,鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此,鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只）,这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡,鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只.那么,鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只）,所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）.

　　（2×100-80）÷（2+4）=20（只）.

　　100-20=80（只）.

　　答：鸡与兔分别有80只和20只.

　　例3红英小学三年级有3个班共135人,二班比一班多5人,三班比二班少7人,三个班各有多少人?

　　分析1我们设想,如果条件中三个班人数同样多,那么,要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示,是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解.

　　结合下图可以想,假设二班、三班人数和一班人数相同,以一班为标准,则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么,请你算一算,假设二班、三班人数和一班人数同样多,三个班总人数应该是多少?

　　解法1：

　　一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3

　　=44（人）

　　二班：44+5=49（人）

　　三班：49-7=42（人）

　　答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人.

　　分析2假设一、三班人数和二班人数同样多,那么,一班人数比实际要多5人,而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少?

　　解法2：（135+5+7）÷3

　　=147÷3

　　=49（人）

　　49-5=44（人）,49-7=42（人）

　　答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人.

　　想一想：根据解法1、解法2的思路,还可以怎样假设?怎样求解?

　　例4刘老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船.每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?

　　分析我们分步来考虑：

　　①假设租的10条船都是大船,那么船上应该坐6×10=60（人）.

　　②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人）,多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人.

　　③一条小船当成大船多出2人,多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船.

　　[6×10-(41+1）÷（6-4）

　　=18÷2=9（条）

　　10-9=1（条）

　　答：有9条小船,1条大船.

　　例5有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿,两对翅膀；蝉6条腿,一对翅膀）,求蜻蜓有多少只?

　　分析这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点,蜻蜓、蝉都是6条腿,只有蜘蛛8条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿,则总腿数为6×18=108（条）,所差118-108=10（条）,必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以,应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手,假设13只都是蝉,则总翅膀数1×13=13（对）,比实际数少20-13＝7（对）,这是由于蜻蜓有两对翅膀,而我们只按一对翅膀计算所差,这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.

　　①假设蜘蛛也是6条腿,三种动物共有多少条腿?

　　6×18=108（条）

　　②有蜘蛛多少只?

　　（118-108）÷（8-6）=5（只）

　　③蜻蜒、蝉共有多少只?

　　18-5=13（只）

　　④假设蜻蜒也是一对翅膀,共有多少对翅膀?1×13=13（对）

　　⑤蜻蜒多少只?

　　（20-13）÷2-1）=7（只）

　　答：蜻蜒有7只.

　　鸡兔同笼

　　一、基本问题

　　“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

　　例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只?

　　我们设想,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是

　　244÷2=122（只）.

　　在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数

　　122-88=34,

　　有34只兔子.当然鸡就有54只.

　　答：有兔子34只,鸡54只.