来自刘江桁的问题
在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
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2020-12-25 11:40
在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
在椭圆球面2x^2+2y^2+z^2=1上的一点,使函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在该店沿方向l=(1,-1,0)的方向导数最大
将向量L单位化可得其方向余弦:L0=(1,-1,0)/(√2)
对函数f求偏导数:f'x=2x,f'y=2y,f'z=2z,
由方向导数公式得f'L=f'x*(1/√2)+f'y*(-1/√2)=(√2)(x-y)
以下就是求函数H(x,y,z)=(√2)(x-y)在条件2x^2+2y^2+z^2=1下的最大值.用Lagrange乘数法.
构造函数L(x,y,z)=(√2)(x-y)+k(2x^2+2y^2+z^2-1)
令L'x=0,L'y=0,L'z=0,L'k=0
得√2+4kx=0,-√2+4ky=0,2kz=0,2x^2+2y^2+z^2=1(先由第三个得z=0,再由第一第二得x=-y,
代入第四个就可求x,y,z)
解得可能极值点(-1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0)
比较这两点处H的值,得Hmax=H(1/2,-1/2,0)=√2,所求的点为(1/2,-1/2,0)