以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等-查字典问答网

来自陈建刚的问题

　　以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE

　　以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

　　（1）如图①当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是______，线段AM与DE的数量关系是______；

　　（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

1回答

2020-12-26 04:26

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李莘莘

　　（1）ED=2AM，AM⊥ED；

　　证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H．

　　∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°

　　又∵∠DAE+∠BAC=180°，

　　∴∠ABG=∠DAE．

　　再证：△DAE≌△ABG

　　∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．

　　延长MA交DE于H，

　　∵∠BAG+∠DAH=90°，

　　∴∠HDA+∠DAH=90°．

　　∴AM⊥ED．

　　（2）结论仍然成立．

　　证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF．

　　∵DA⊥BA，EA⊥AF，

　　∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．

　　∵在△FAB和△EAD中，

　　FA＝AE∠BAF＝∠EADBA＝DA

2020-12-26 04:27:44