【△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABD和-查字典问答网

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　　【△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABD和CAE,F是BC的中点,猜想DF与EF的关系并证明】

　　△ABC中,分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABD和CAE,F是BC的中点,猜想DF与EF的

　　关系并证明

1回答

2020-12-27 04:42

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任楠

　　DF=EF

　　证明：分别取AB、AC的中点为M、N.

　　∵AD⊥BD、AD＝BD、AM＝BM,∴DM＝AB/2、∠DMB＝90°.

　　∵AE⊥CE、AE＝CE、AN＝CN,∴NE＝AC/2、∠ENC＝90°.

　　∵M、F分别是AB、BC的中点,∴MF＝AC/2、MF∥AC,∴∠BMF＝∠BAC.

　　∵N、F分别是AC、BC的中点,∴FN＝AB/2、NF∥AB,∴∠CNF＝∠ABC.

　　由DM＝AB/2、FN＝AB/2,得：DM＝FN.

　　由MF＝AC/2、NE＝AC/2,得：MF＝NE.

　　由∠DMB＝∠ENC＝90°、∠BMF＝∠CNF＝∠ABC,得：∠DMB＋∠BMF＝∠ENC＋∠CNF,

　　∴∠DMF＝∠FNE.

　　由DM＝FN、MF＝NE、∠DMF＝∠FNE,得：△DMF≌△FNE,∴DF＝EF.

2020-12-27 04:44:57