换元法求值域的具体方法-查字典问答网
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  换元法求值域的具体方法

  换元法求值域的具体方法

1回答
2020-12-27 02:17
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沙新时

  哎,我把你认为是另一个提很多问题的人了!现在让我给你参考参考:

  首先,为什么我们要换元:是因为所求式子较复杂或是用换元法比较容易解决.

  举个例子:求y=x+√(1-x)的值域,如果直接入手,有一定难度,但我们可以假设:

  t=√(1-x),反解出:x=1-t^2,(注意:t≥0,"√"代表根号)

  所以原式等价于:y=1-t^2+t=-t^2+t+1(二次函数是我们所熟悉的),其值域为:

  (-∞,5/4].

  任何数学变换都要遵循一个原则(理):等价变换.

  为什么等价:以y=x+√(1-x)为例,原式x的取值范围为:x≤1;

  它是受√(1-x)所约束的,说简单点,x的值是由√(1-x)≥0解得的,但是我们没有必要求出x的值,因为我们的目的是要求值域,而不是定义域.这样t=√(1-x)

  t≥0与解得的x≤1是一个意思(t≥0等价于x≤1),接下来只需要用字母t的式子去代替用x表示的式子,原来的根号就消失了,式子变得简单了.

  那为什么值又没有扩大或是缩小呢:

  既然定义域都没有变,那值域怎么会变呢,我们只是用t去等量代替√(1-x),从而避免根号这个“障眼法”,而使问题变得简洁.(换元法的最终目的是使复杂式子简单化,也就是更容易看懂)

  (重点参考:等价变换实际上是定义域不变的代换,定义不变,值也就不变.换元法求值域就好比你要从A地到B地,但是路有很多条,但是只有一条比较好走,而你选择的就是那一条好走的路,殊途同归,实际都能到达)

2020-12-27 02:21:05

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