设连续2008个正整数中最小的数是m，则

　　m+（m+1）+…+（m+2007）=（2m+2007）×2008÷2=2008m+2007×1004

　　如果这2008个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n有2008m+2007×1004=n2

　　由于上式左边能被1004整除，故n2也必能被1004整除，1004=2×2×251，

　　故n也必能被251×2=502整除，设n=502k，k为正整数，代入2008m+2007×1004=n2得

　　2m+2007=251k2，

　　故2m+2007能被素数251整除，即2m-1能被251整除，取最小的m，使2m-1能被251整除，

　　取2m-1=251，m=126，代入2m+2007=251k2，

　　解得k=3，n=1506，此时连续2008个正整数为126，127，128，…，2133．

　　满足条件的2008个正整数中最大的数的最小值是2133．