【假设f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且f(a-查字典问答网
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来自刘艳霞的问题

  【假设f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,g"(x)≠0证明:至少存在一点n属于(a,b)使f(n)/g(n)=f"(n)/g"(n)】

  假设f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,g"(x)≠0证明:至少存在一点n属于(a,b)使f(n)/g(n)=f"(n)/g"(n)

1回答
2020-12-27 23:55
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丁国正

  构造F(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)

  则F(x)在(a,b)可导,F(a)=F(b)=0

  F'(x)=f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)-[f''(x)g(x)+f'(x)g'(x)]

  =f(x)g''(x)-f''(x)g(x)

  由罗尔定理,存在n∈(a,b)

  使得F'(n)=0

  即f(n)g''(n)-f''(n)g(n)=0

  即f(n)/g(n)=f''(n)/g''(n)

  原命题得证.

  注:答案来自网友【tian27546西西】

2020-12-27 23:59:04

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