如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以-查字典问答网

来自马殿富的问题

　　如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒

　　如图，已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向点B运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒．

　　（1）连接PD、PQ、DQ，设△PQD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；

　　（2）当点P在BC上运动时，是否存在这样的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；

　　（3）以点P为圆心，作⊙P，使得⊙P与对角线BD相切．问：当点P在CD上运动时，是否存在这样的t，使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

1回答

2020-12-27 21:15

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马天牧

　　（1）当0≤t≤2时，即点P在BC上时，

　　S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-．

　　②若PD=PQ，则PD2=PQ2，即42+（4-2t）2=（4-t）2+（2t）2．

　　解得t=-4±4，其中t=-4-4＜0不合题意，舍去，∴t=-4+4．

　　③若QD=PQ，则QD2=PQ2，即16+t2=（4-t）2+（2t）2，解得t=0或t=2，

　　∴t=或t=-4+4或t=0或t=2时，△PQD是等腰三角形．

　　（3）当P在CD上运动时，若⊙P经过BC的中点E，设⊙P切BD于M．

　　则CP=2t-4，PM2=PE2=（2t-4）2+22．

　　而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，所以DP=PM，即DP2=2PM2．

　　∴（8-2t）2=2[（2t-4）2+22]．

　　解得t=±，负值舍去，

　　∴t=，

　　若⊙P经过CD的中点，⊙P的半径r=2（-1），

　　故t=2+，

　　故当点P在CD上运动时，若t=或2+，则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点．

2020-12-27 21:16:59