【在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0,4）,点B在第一象限,点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD．（1】
在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0,4）,点B在第一象限,
点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（√3,0）时,求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于（√3）/4,若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．
（1）过B点作AO的垂线,垂足为E
∵△AOB是等边三角形OA=4
∴AE=EO=2AB=4BE=2√3
∴B点的坐标是（2√3,2）
∴AB的解析式为y=√3/3x+4
（2）∵AP=AD∠PAD=60°
∴△APD是等边三角形
∴DP=AP=√[(√3)²+4²]=√19
tan∠DPx=tan(120-arctan(4/√3))=tan120-tan(arctan(4/√3))/[1+tan120*tan(arctan(4/√3))]
=7/(3√3)
过D点作DF垂直与PF
设PF=3√3x
DF=7x
(3√3x)²+(7x)²=19勾股定理
x=1/2
PF=3√3/2
DF=7/2
D点坐标为（5√3/2,7/2）
（3）存在,把OP设为a
同理可得
DP=√(a²+4²)=√(a²+16)
tan∠DPx=tan(120-arctan(4/a))=tan120-tan(arctan(4/a))/[1+tan120*tan(arctan(4/a))]
=(4+√3a)/(4√3-a)
设PF=(4√3-a)x
DF=(4+√3a)x
[(4√3-a)x]²+[(4+√3a)x]²=a²+16
x=1/2
DF=(4+√3a)/2
△OPD的面积=a*(4+√3a)/2*1/2=(4a+√3a²)/4
=√3/4
∴a=√13-2√3