数学圆锥曲线已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹-查字典问答网
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  数学圆锥曲线已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ|AM|•|BM|cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P、Q两点.(1)求|AM|+|BM|的值,并写

  数学圆锥曲线已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足

  已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ|AM|•|BM|cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P、Q两点.

  (1)求|AM|+|BM|的值,并写出曲线C的方程;

  (2)求△APQ面积的最大值.

1回答
2020-12-28 22:05
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童彭年

  设M(x,y)

  在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2a

  由余弦定理得:

  |AB|²=|AM|²+|BM|²-2|AM|•|BM|•cos2a=4

  |AM|²+|BM|²-2|AM|•|BM|•(2cos²a-1)=4

  |AM|²+|BM|²+2|AM|•|BM|-2|AM|•|BM|•(2cos²a-1)-2|AM|•|BM|=4

  (|AM|+|BM|)²-(2|AM|•|BM|•(2cos²a-1)+2|AM|•|BM|)=4

  (|AM|+|BM|)²-2|AM|•|BM|•(2cos²a)=4

  (|AM|+|BM|)²-4|AM|•|BM|•cos²a=4

  (|AM|+|BM|)²=16

  ∴|AM|+|BM|=4

  因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a=2,c=1

  ∴曲线C的方程为(x²/4)+(y²/3)=1

  2.

  过A点的一条直线,交椭圆于P.Q两点,求三角形BPQ内切圆的最大值

  回答

  设直线PQ的方程为x=my+1(m∈R)

  由:

  {x=my+1

  {(x²/4)+(y²/3)=1

  得:

  (3m²+4)y²+6my-9=0①

  显然,方程①的Δ>0,

  设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有S=1/2×2×|y1-y2|=|y1-y2|

  y1+y2=-6m/(3m²+4),y1y2=-9/(3m²+4)

  (y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=48×[(3m²+3)/(3m²+4)²]

  令t=3m²+3,则t≥3

  (y1-y2)²=48/[t+(1/t)+2]

  由于函数y=t+(1/t)在[3,+∞)上是增函数

  ∴t+(1/t)≥10/3

  故(y1-y2)²≤9

  即S≤3

  ∴△BPQ的最大值是3.

2020-12-28 22:09:53

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