来自李步青的问题
设f(X)连续且满足f(x)=e^x+sinx-∫x0(x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)RT
设f(X)连续且满足f(x)=e^x+sinx-∫x0(x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)
RT
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2020-12-29 00:04
设f(X)连续且满足f(x)=e^x+sinx-∫x0(x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)RT
设f(X)连续且满足f(x)=e^x+sinx-∫x0(x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)
RT
f(x)=e^x+sinx-∫[0→x](x-t)f(t)dt
=e^x+sinx-x∫[0→x]f(t)dt+∫[0→x]tf(t)dt
求导得:
f'(x)=e^x+cosx-∫[0→x]f(t)dt-xf(x)+xf(x)
=e^x+cosx-∫[0→x]f(t)dt(1)
两边再求导得:
f''(x)=e^x-sinx-f(x)
得微分方程:f''(x)+f(x)=e^x-sinx
将x=0代入原方程得:f(0)=1
将x=0代入(1)得:f'(0)=2
下面求解初值问题:
f''(x)+f(x)=e^x-sinx
f(0)=1
f'(0)=2
特征方程:λ²+1=0,解得λ=±i
齐次方程通解为:C1cosx+C2sinx
构造非齐次方程特解为:y*=ae^x+bx*cosx+cx*sinx
代入微分方程比较系数得特解为:y*=(1/2)e^x+(1/2)xcosx
非齐次方程通解为:f(x)=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx
将两个初始条件代入得:C1=1/2,C2=1
因此本题结果为:f(x)=(1/2)cosx+sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx
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