数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，-查字典问答网

来自路炜的问题

　　数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

　　数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

　　经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．

　　在此基础上，同学们作了进一步的研究：

　　（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

　　（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

1回答

2020-12-28 23:20

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陈贤巧

　　（1）正确．

　　证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．

　　∴BM=BE，

　　∴∠BME=45°，

　　∴∠AME=135°，

　　∵CF是外角平分线，

　　∴∠DCF=45°，

　　∴∠ECF=135°，

　　∴∠AME=∠ECF，

　　∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

　　∴∠BAE=∠CEF，

　　∴△AME≌△ECF（ASA），

　　∴AE=EF．

　　（2）正确．

　　证明：在BA的延长线上取一点N．

　　使AN=CE，连接NE．

　　∴BN=BE，

　　∴∠N=∠NEC=45°，

　　∵CF平分∠DCG，

　　∴∠FCE=45°，

　　∴∠N=∠ECF，

　　∵四边形ABCD是正方形，

　　∴AD∥BE，

　　∴∠DAE=∠BEA，

　　即∠DAE+90°=∠BEA+90°，

　　∴∠NAE=∠CEF，

　　∴△ANE≌△ECF（ASA），

　　∴AE=EF．

2020-12-28 23:23:57