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  【对于一个二阶常系数非齐次微分方程如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如:y"+py'+qy=r(x)如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何】

  对于一个二阶常系数非齐次微分方程如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边

  对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如:y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何猜测它的特解?例如:y"+3y'+2y=25+x(e^-x)猜测它的特解为y*=A+x(K0+K1x)(e^-x)其中AK0K1为常数,因为特征方程的一个解为-1所以特解方程里多了一个x,可在y"-2y'+y=(e^x)cosx中,特征方程的解为两个1,可为什么它的特解方程还是y*=(e^x)(Acosx+Bsinx)而不用乘以x^2呢?

3回答
2019-10-26 06:44
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康健楠

  e^x*cos(x)对应的特征根是x^2-x+1/2=0的根.

  这个是因为有欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).当然你设解为y*=Ae^(x(1+i))+Be^(x(1-i))可以按照齐次方程的特解设的方法来理解.因为那个欧拉公式,就可以将解设为y*=(e^x)(Acosx+Bsinx),从而避免虚数.

  描述的不是很好.

2019-10-26 06:47:09
路世瑞

  也就是说e^x*cos(x)对应的特征根应该是1+i或1-i,而这是从当特征根为虚数时,y(x)=(e^Ux)(Acosvx+Bsinvx)中得到的?

2019-10-26 06:48:52
康健楠

  就是这样的。

2019-10-26 06:52:33

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