基本计数原理

　　⑴加法原理和分类计数法

　　⒈加法原理：做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法.

　　⒉第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,……,第n类办法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn.

　　⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法,都属于某一类（即分类不漏）.

　　⑵乘法原理和分步计数法

　　⒈乘法原理：做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.

　　⒉合理分步的要求

　　任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同.

　　3.与后来的离散型随机变量也有密切相关.

　　二项式定理

　　(a+b)^n=Σ(0->n)C(in)a^(n-i)b^i[1]

　　通项公式：a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i

　　二项式系数：C(in)杨辉三角：右图.两端是1,除1外的每个数是肩上两数之和.

　　系数性质：

　　⑴和首末两端等距离的系数相等；

　　⑵当二项式指数n是奇数时,中间两项最大且相等；

　　⑶当二项式指数n是偶数时,中间一项最大；

　　⑷二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同,都是2^(n-1）；

　　⑸二项式展开式中所有系数总和是2^n

　　历史

　　1772年,法国数学家范德蒙德（Vandermonde,A.-T.）以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数.

　　瑞士数学家欧拉（Euler,L.）则于1771年以及于1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数.

　　1830年,英国数学家皮科克（Peacock,G）引入符号Cr表示n个元素中每次取r个的组合数.

　　1869年或稍早些,剑桥的古德文以符号nPr表示由n个元素中每次取r个元素的排列数,这用法亦延用至今.按此法,nPn便相当于n!.

　　1872年,德国数学家埃汀肖森（Ettingshausen,B.A.von）引入了符号（np）来表示同样的意义,这组合符号（SignsofCombinations）一直沿用至今.

　　1880年,鲍茨（Potts,R.）以nCr及nPr分别表示由n个元素取出r个的组合数与排列数.

　　1886年,惠特渥斯（Whit-worth,A.W.）用Cnr和Pnr表示同样的意义,他还用Rnr表示可重复的组合数.

　　1899年,英国数学家、物理学家克里斯托尔（Chrystal,G.）以nPr,nCr分别表示由n个不同元素中每次取出r个不重复之元素的排列数与组合数,并以nHr表示相同意义下之可重复的排列数,这三种符号也通用至今.

　　1904年,德国数学家内托（Netto,E.）为一本百科辞典所写的辞条中,以Arn表示上述nPr之意,以Crn表示上述nCr之意,后者亦也用符号（nr）表示.这些符号也一直用到现代.

　　此外,在八卦中,亦运用到了排列组合.