对于任意整数i,有

　　（1+2+3+.+i)²

　　=((1+2+3+.+(i-1))+i)²

　　=(1+2+3+.+(i-1))²+2i(1+2+3+.+(i-1))+i²

　　因为前n项和公式1+2+3+.+n=n（1+n)/2,代人,继续整理

　　=(1+2+3+.+(i-1))²+2i(i(i-1)/2)+i²

　　=(1+2+3+.+(i-1))²+i³

　　所以

　　（1+2+3+.+i)²-(1+2+3+.+(i-1))²=i³

　　对i依次取1到n,列出各个等式,

　　1²-0²=1³

　　（1+2)²-(1)²=2³

　　（1+2+3)²-(1+2)²=3³

　　............

　　（1+2+3+.+n)²-(1+2+3+.+(n-1))²=n³

　　各个等式左右两边同时相加,相同项消去,得

　　（1+2+3+.+n)²-0²=1³+2³+3³+.+n³

　　即

　　（1+2+3+.+n)²=1³+2³+3³+.+n³