用归纳法证明证明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/61,N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝12,N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝53,设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋……＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6则当N＝x＋1时,1＋4＋9＋……＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6也满足公式4,综上所述,平方和公式1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6成立,得证.所以1-100平方和=100（101）（201）/6=338350归纳法证明:（1）当n=1时,显然成立（2）用归纳法证明1^3+2^3+~~~~~+n^3=[n(n+1)/2]^2设n=k时成立,则1^3+2^3+~~~~~+k^3=[k(k+1)/2]^2当n=k+1时,1^3+2^3+~~~~~+k^3+(k+1)^3=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3=(k+1)^2[(k/2)^2+k+1]=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]=(k+1)^2[(k+2)/2]^2=(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2即n=k+1时也满足综合(1)(2)知1^3+2^3+~~~~~+n^3=[n(n+1)/2]^21到100的立方=[100(100+1)/2]^2=25502500

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