因为0.999...=1

　　在完备的实数系中,循环小数0.999…,表示一个等于1的实数.也就是说,“0.999…”所表示的数与“1”相同.长期以来,该等式被专业数学家所接受,并在教科书中讲授.目前这个等式已经有各种各样的证明,它们各有不同的严谨性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性质、历史文脉、以及目标受众.

　　在1846年的美国教科书《大学算术》（《TheUniversityArithmetic》）中有这么一句：“0.999+,到无穷远处等于1,这是因为每加上一个9,都会使它的值更加接近于1”（.999+,continuedtoinfinity=1,becauseeveryannexationofa9bringsthevaluecloserto1）

　　证明

　　1.减法

　　1.00000…

　　-0.99999…

　　0.00000…

　　结果为0.000…,也就是后面的0无限循环.这两个数目在这里是无限循环小数,小数点后五位之后还会一直填上0,始终无法找到最后一位来填上1.1.000…-0.999…=0.000…=0,故1=0.999….

　　2.代数分数

　　无限小数是有限小数的一个必要的延伸,其中一个原因是用来表示分数.用长除法,一个像1⁄3的简单整数除法便变成了一个循环小数,0.333…,其中有无穷多个数字3.利用这个小数,很快就能得到一个0.999…=1的证明.用3乘以0.333…中的每一个3,便得到9,所以3×0.333…等于0.999….而3×1⁄3等于1,所以0.999…=1

　　这个证明的另外一种形式,是用1/9=0.111…乘以9.

　　0.333.=1/3

　　3×0.333...=3×1/3

　　0.999...=1

　　1=9/9=9×1/9=9×0.111...=0.999...

　　由于两个方程都是正确的,因此根据相等关系的传递性质,0.999…一定等于1.类似地,3/3=1,且3/3=0.999….所以,0.999…一定等于1.

　　3.一个特别的除法竖式

　　用竖式计算可得8.999…÷9=0.999…

　　设n=0.999…

　　则8+n/9=n

　　解此一元一次方程得n=1

　　所以0.999…=n=1

　　4.位数操作

　　另外一种证明更加适用于其它循环小数.当一个小数乘以10时,其数字不变,但小数点向右移了一位.因此10×0.999…等于9.999…,它比原来的数大9.

　　考虑从9.999…减去0.999….我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位,结果都是9-9,也就是0.但末尾的零并不能改变一个数,所以相差精确地是9.最后一个步骤用到了代数.设0.999…=c,则10c−c=9,也就是9c=9.等式两端除以9,便得证：c=1.[1]用一系列方程来表示,就是

　　c=0.999...

　　10c=9.999...

　　10c-c=9.999...-0.999...

　　9c=9

　　c=1

　　0.999...=1

　　以上两个证明中的位数操作的正确性,并不需要盲目相信,也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的.这个关系,可以用几个等价的方法来表示,已经规定了0.999…和1.000…都表示相同的数.

　　4.数列

　　如果|r|