【设a,n为正整数,且a整除2n的平方,试说明n的平方+a不-查字典问答网
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  【设a,n为正整数,且a整除2n的平方,试说明n的平方+a不是平方数快那,好的加分】

  设a,n为正整数,且a整除2n的平方,试说明n的平方+a不是平方数

  快那,好的加分

3回答
2019-12-25 08:00
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陈营端

  a|2n^2

  如果n^2+a=b^2.一式

  则 2b^2=2n^2+2a

  所以a|2b^2

  如果a是奇数,则a|n^2,a|b^2

  如果a是偶数,则a/2|n^2,a/2|b^2

  总有数c|n^2c|b^2a=c或者2c

  设c=x^2*yy不含平方因子

  则设 y|(n/x)^2=y^2*N^2y|(b/x)^2=y^2*B^2 此时,n=xyN,b=xyB.

  代入一式:

  则B^2y=N^2y+1或者N^2y+2

  1=y(B^2-N^2)-----显然无解

  或者

  2=y(B^2-N^2)-----显然无解

  所以.不可能是完全平方数

  证毕.

2019-12-25 08:03:31
黄璜

  老师,还能不能用其他方法解?如果令n^2+a=m^2,则.....会吗,好像有代换的..偶们老师说的啦...再问一下,“不是平方数”是什么概念,是负数吗?

2019-12-25 08:04:15
陈营端

  1491625...........n^2就是平方数,其它不是平方数。你设的m^2就表示平方数。y不存在平方数因子:即y的算术表达式中每个素因子p的指数是1,如y=3*7*37;否则如3^3*7*37则有9作为y的平方因子。简单一点,按你所设n^2+a=m^2:a|2n^2a|2m^2, 设a=2^r*x^2*y,r=0或者1, y不存在平方数因子。则x^2|n^2x^2|m^2所以xy|mxy|n,设m=xyM,n=xyN代入:m^2-n^2=ay(N^2-M^2)= 2^r =1或者2y(N-M)(N+M) =1或者2----------显然无解

2019-12-25 08:06:29

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