题目有N件物品和一个容量为V的背包.第i件物品的费用是c[i],价值是w[i].求解将哪些物

　　品装入背包可使价值总和最大.

　　基本思路这是最基础的背包问题,特点是：每种物品仅有一件,可以选择放或不放.

　　用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值.

　　则其状态转移方程便是：

　　f[i][v]=Max

　　{

　　f[i􀀀1][v]

　　f[i􀀀1][v􀀀c[i]]+w[i]

　　这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的.所以有必要将

　　它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略

　　（放或不放）,那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题.如果不放第i件物品,那么问题

　　就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品,那么问题就转

　　化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再

　　加上通过放入第i件物品获得的价值w[i].

　　优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为2(VN),其中时间复杂度应该已经不能

　　再优化了,但空间复杂度却可以优化到2(N)1.

　　先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的

　　所有值.那么,如果只用一个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定

　　义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时（也

　　即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环

　　中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值.伪代码

　　如下：

　　()

　　1fori1toN

　　2doforvVto0

　　3dof[v]=maxff[v],f[v-c[i]]+w[i]g;

　　其中的f[v]=maxff[v];f[v􀀀c[i]]g一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=maxff[i􀀀1][v];f[i􀀀

　　1][v􀀀c[i]]g,因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i􀀀1][v􀀀c[i]].如果将v的循环顺序从上面的逆

　　序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包

　　问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的.

　　1原文为O

　　1