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来自李军刚的问题

  如何证明三点一线

  如何证明三点一线

1回答
2019-12-31 08:43
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孙承启

  总结一下方法吧……

  第一大类:纯几何

  ①原始定义:证明ABC(依次排列,B在AC之间)三点共线,只证∠ABC=180°或者AC=AB+BC.

  这个很好理解.

  衍生出方法:1.外面还有D点,而且DB⊥AB且DB⊥CB则ABC三点共线

  2.对顶角相等的逆定理

  3.楼上说的反证法

  ……很多,具体碰到题再随机应变吧.

  ②线段比值法:著名的梅涅劳斯定理(逆定理)

  ③用已知定理.数学里面有很多定理是用来证明三点共线的,比如欧拉线定理、西姆松定理、帕斯卡定理……只要看题目里面的情境是不是符合这些定理成立的条件.

  第二大类:解析几何——平面向量

  证明向量AB和向量BC平行(即AB向量=αBC向量,α是非零实数),当然也可以证明向量AC和BC,AB和AC共线……

  衍生方法:①证明AB、BC共用同一个法向量n即n·AB=n·AC=0②证明AB·BC(点乘)=|AB|·|AC|或-|AB||AC|.③相对来说稍微高深一点的:另外找一点D,如果向量DB可以写成

  a向量DA+(1-a)向量DC这种形式,则ABC三点共线.就用上述AB向量=αBC向量这个条件,把AB换成DB-DA,BC换成DC-DB带进去就得到.

  第三大类:解析几何——方程

  证明A、B、C三个点坐标满足同一个直线方程y=kx+b(当然直线也可能时其他形式,比如Ax+By+C=0)

  衍生方法:可以证明AB直线斜率等于BC斜率……

  毕竟很久没做中学数学了.

2019-12-31 08:47:45

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