在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程.

　　一元二次方程有四个特点：

　　(1)只含有一个未知数；

　　(2)且未知数次数最高次数是2；

　　(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程．

　　（4）将方程化为一般形式：ax^+bx+c=0时,应满足（a≠0）

　　2,考试比较爱考.

　　3,方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2=-b/a,X1*X2=c/a（也称韦达定理）

　　4,方程两根为X1,X2时,方程为:X^2;-(X1+X2)X+X1X2=0(根据韦达定理逆推而得)

　　5.b^2-4ac≥0有实数解,b^2-4ac＜0无实数解.

　　一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数a≠0)

　　例如：x^2+2x+1=0

　　配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a两根式

　　a(x-x1)(x-x2)=0

　　1.配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x^2+2x－3=0

　　把常数项移项得：x^2+2x=3

　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4

　　因式分解得：（x+1)^2=4

　　解得：x1=-3,x2=1

　　用配方法解一元二次方程小口诀

　　二次系数化为一

　　常数要往右边移

　　一次系数一半方

　　两边加上最相当

　　2.公式法（可解全部一元二次方程）

　　首先要通过b^2-4ac的值来判断一元二次方程有几个根

　　1.当b^2-4ac＜0时x无实数根（初中）

　　2.当b^-4ac=0时x有两个实数根即x1=x2

　　3.当b^2-4ac＞0时x有两个不相同的实数根

　　当判断完成后,若方程有根可根属于1、2两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a

　　来求得方程的根

　　3.因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”.

　　如：解方程：x^2+2x+1=0

　　利用完全平方公式因式分解得：（x+1）^2=0

　　解得：x1=x2=-1

　　4.直接开平方法（可解部分一元二次方程）

　　5.代数法（可解全部一元二次方程）

　　ax^2+bx+c=0

　　同时除以a,可变为x^2+bx/a+c/a=0

　　设：x＝y-b/2

　　方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0X错__应为(y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0

　　再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0X___y^2-b^2/4+c=0

　　y=±√[(b^2*3)/4+c]X____y=±√[(b^2)/4+c]

　　如何选择最简单的解法：1、看是否可以直接开方解；

　　2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法）；

　　3、使用公式法求解；

　　4、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦）.

　　例题精讲：1、直接开平方法：

　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程,其解为x=m±√n

　　例1．解方程（1）(3x+1)^2=7（2）9x^2-24x+16=11

　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=110,所以此方程也可用直接开平方法解.

　　（1）(3x+1)^2=7

　　∴(3x+1)^2=7

　　∴3x+1=±√7(注意不要丢解)

　　∴x=...

　　∴原方程的解为x1=...,x2=...

　　（2）9x^2-24x+16=11

　　∴(3x-4)^2=11

　　∴3x-4=±√11

　　∴x=...

　　∴原方程的解为x1=...,x2=...

　　2．配方法：

　　例1用配方法解方程3x^2-4x-2=0

　　将常数项移到方程右边3x^2-4x=2

　　将二次项系数化为1：x^2-x=

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+()^2=+()^2

　　配方：(x-)^2=

　　直接开平方得：x-=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根.

　　当b^2-4ac0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）

　　当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）

　　当b^2-4ac0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中理解为无实数根）

　　例3．用公式法解方程2x^2-8x=-5

　　将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0

　　∴a=2,b=-8,c=5

　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=240

　　∴x===

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

　　例4．用因式分解法解下列方程：

　　(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x^2+3x=0