一般地,如果a（a大于0,且a不等于1）的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

　　真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,

　　底数则要大于0且不为1

　　对数函数的底数为什么要大于0且不为1

　　在一个普通对数式里a0,那么：

　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M)（n属于R）

　　对数与指数之间的关系

　　当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N

　　对数函数的历史：

　　16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数.

　　德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列（叫原数）,右边是一个等差数列（叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent,有代表之意）.

　　欲求左边任两数的积（商）,只要先求出其代表（指数）的和（差）,然后再把这个和（差）对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积（商）,可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念.

　　纳皮尔对数值计算颇有研究.他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法.他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系.在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数,记为Nap．㏒x,它与自然对数的关系为

　　Nap．㏒x=107㏑(107/x)

　　由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离.

　　瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟（1620）.

　　英国的布里格斯在1624年创造了常用对数.

　　1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）.

　　对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」.又如十八世纪数学家拉普拉斯（1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」.

　　最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的.当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用「假数」为「对数」.

　　我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905）看到这些著作后,大为叹服.

　　当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年,J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致.