若干个单项式的和组成的式叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）.多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项.如一式中：最高项的次数为5,此式有3个单项式组成,则称其为：五次三项式.

　　比较广义的定义,1个或0个单项式的和也算多项式.按这个定义,多项式就是整式.实际上,还没有一个只对狭义多项式起作用,对单项式不起的定理：0作为多项式时,次数为负无穷大.

　　因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式,它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．

　　⑴提公因式法

　　①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.

　　②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

　　am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

　　③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的.

　　⑵运用公式法

　　①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

　　②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

　　※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

　　③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).

　　立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).

　　④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

　　⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

　　a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

　　⑶分组分解法

　　分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.

　　分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.

　　⑷拆项、补项法

　　拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.

　　⑸十字相乘法

　　①x^2＋（pq）x＋pq型的式子的因式分解

　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x^2＋（pq）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

　　②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

　　如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m时,那么

　　kx^2＋mx＋n＝（axb）（cxd）

　　a-----/bac＝kbd＝n

　　c/-----dad＋bc＝m

　　※多项式因式分解的一般步骤：

　　①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；

　　②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

　　③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

　　④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

　　(6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式.

　　经典例题：

　　1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

　　原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

　　2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33

　　x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

　　原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

　　当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立

　　因式分解的十二种方法

　　把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：

　　1、提公因法

　　如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

　　例1、分解因式x^3-2x^2-x(2003淮安市中考题)

　　x^3-2x^2-x=x(x^2-2x-1)

　　2、应用公式法

　　由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公