二次根式的化简与计算的策略与方法

　　二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法：

　　①先将式中的二次根式适当化简

　　②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行,运算中要运用公式（,）

　　③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算．

　　④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的基础上去括号与合并同类项．

　　⑤运算结果一般要化成最简二次根式．

　　化简二次根式的常用技巧与方法

　　二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,下面通过具体的实例进行分类解析．

　　1．公式法

　　【例1】计算①；②

　　【解】①原式

　　②原式

　　【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”,从而使计算较为简便．

　　2．观察特征法

　　【例2】计算：

　　【方法导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化,计算相当麻烦,观察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以,即得分子,于是可以简解如下：

　　【解】原式．

　　【例3】把下列各式的分母有理化．

　　（1）；（2）（）

　　【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法：

　　【解】①原式

　　

　　【方法导引】②式可以直接有理化分母,再化简．但是,不难发现②式分子中的系数若为“1”,那么原式的值就等于“1”了!因此,②可以解答如下：

　　【解】②原式

　　

　　

　　3．运用配方法

　　【例4】化简

　　【解】原式

　　

　　【解后评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“”

　　4．平方法

　　【例5】化简

　　【解】∵

　　

　　

　　∴．

　　【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题,一般用平方法都可以进行化简

　　5．恒等变形公式法

　　【例6】化简

　　【方法导引】若直接展开,计算较繁,如利用公式,则使运算简化．

　　【解】原式

　　

　　

　　6．常值换元法

　　【例7】化简

　　【解】令,则：

　　原式

　　

　　

　　

　　

　　

　　7．裂项法

　　【例8】化简

　　【解】原式各项分母有理化得

　　原式

　　

　　【例9】化简

　　

　　【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁,但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和,于是则有如下简

　　【解】原式

　　

　　

　　

　　8．构造对偶式法

　　【例10】化简

　　【解】构造对偶式,于是没

　　,

　　则,,

　　原式

　　

　　9．由里向外,逐层化简

　　

　　【解】∵

　　

　　而

　　

　　∴原式

　　【解后评注】对多重根式的化简问题,应采用由里向外,由局部到整体,逐层化简的方法处理．

　　10．由右到左,逐项化简

　　【例11】化简

　　

　　【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系,因此从右向左进行化简．

　　【解】原式

　　

　　

　　

　　．

　　【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键,由平方差公式将多重根号逐层脱去,逐项化简,其环节紧凑,一环扣一环,如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．

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　　二次根式大小比较的常用方法

　　二次根式的化简具有极强的技巧性,而在不求近似值的情况下比较两个无理数（即二次根式）的大小同样具有很强的技巧性,对初中生来说是一个难点,但掌握一些常见的方法对它的学习有很大的帮助和促进作用．

　　1．根式变形法

　　【例1】比较与的大小

　　【解】将两个二次根式作变形得

　　,

　　∵,∴即

　　【解后评注】本解法依据是：当,时,①,则；②若,则

　　2．平方法

　　【例2】比较与的大小

　　【解】,

　　∵,∴

　　【解后评注】本法的依据是：当,时,如果,则,如果,则．

　　3．分母有理化法

　　通过运用分母有理化,利用分子的大小来判断其倒数的大小．

　　【例3】比较与的大小

　　【解】∵

　　

　　又∵

　　∴

　　4．分子有理化法

　　在比较两个无理数的差的大小时,我们通常要将其进行分子有理化,利用分母的大小来判断其倒数的大小．

　　【例4】比较与的大小

　　【解】∵

　　

　　又∵

　　∴．而

　　5．等式的基本性质法

　　【例5】比较与的大小

　　【解法1】∵