[编辑本段]向量

　　在初中课改教材初三课本中学习

　　[编辑本段]数量的定义

　　中,把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量）,物理中常称为标量.

　　[编辑本段]向量的定义

　　既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢(shi4声)量）.

　　注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组,称为n维向量.α=（a1,a2,…,an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量.

　　（"a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推）.

　　[编辑本段]向量的表示

　　1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c…等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示.

　　2、几何表示：向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.（若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.）

　　3、坐标表示：在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a.由平面向量基本定理知,有且只有一对实数（x,y）,使得a=向量OP=xi+yj,因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标,记作a=（x,y）.这就是向量a的坐标表示.其中（x,y）就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量.

　　[编辑本段]向量的模和向量的数量

　　向量的大小,也就是向量的长度(或称模).向量a的模记作|a|.

　　注：

　　1、向量的模是非负实数,是可以比较大小的.

　　2、因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小.对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的.例如,“向量AB>向量CD”是没有意义的.

　　[编辑本段]特殊的向量

　　单位向量

　　长度为单位1的向量,叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0,a0=a/|a|.

　　零向量

　　长度为0的向量叫做零向量,记作0．零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的.

　　相等向量

　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等,记作a=b．

　　规定：所有的零向量都相等．

　　当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取.任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量.

　　自由向量

　　始点不固定的向量,它可以任意的平行移动,而且移动后的向量仍然代表原来的向量.

　　在自由向量的意义下,相等的向量都看作是同一个向量.

　　数学中只研究自由向量.

　　滑动向量

　　沿着直线作用的向量称为滑动向量.

　　固定向量

　　作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）.

　　位置向量

　　对于坐标平面内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作：向量P.

　　[编辑本段]相反向量

　　与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a.有-（-a）=a；

　　零向量的相反向量仍是零向量.

　　平行向量

　　方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线）,记作a∥b．

　　零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定,我们规定：零向量与任一向量平行．

　　平行于同一直线的一组向量是共线向量.

　　共面向量

　　平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量.

　　空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面.

　　只有三个或三个以上向量才谈共面不共面.

　　[编辑本段]向量的运算

　　设a=（x,y）,b=(x',y').

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

　　AB+BC=AC.

　　a+b=(x+x',y+y').

　　a+0=0+a=a.

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0

　　AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”

　　a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

　　4、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.

　　当λ＞0时,λa与a同方向；

　　当λ＜0时,λa与a反方向；

　　当λ=0时,λa=0,方向任意.

　　当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.

　　注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

　　实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

　　当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

　　3、向量的的数量积

　　定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.

　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.

　　向