一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础.

　　一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0,(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.

　　解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.

　　二、方法、例题：

　　1、直接开平方法：

　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=m±.

　　例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11

　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解.

　　(3x+1)2=7×

　　∴(3x+1)2=5

　　∴3x+1=±(注意不要丢解)

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

　　9x2-24x+16=11

　　∴(3x-4)2=11

　　∴3x-4=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

　　2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

　　先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

　　将二次项系数化为1：x2+x=-

　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

　　方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

　　当b2-4ac≥0时,x+=±

　　∴x=(这就是求根公式)

　　例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0

　　将常数项移到方程右边3x2-4x=2

　　将二次项系数化为1：x2-x=

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2

　　配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根.

　　例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

　　将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

　　∴a=2,b=-8,c=5

　　b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

　　∴x===

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

　　例4．用因式分解法解下列方程：

　　(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

　　(3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0

　　(x+3)(x-6)=-8化简整理得

　　x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零)

　　(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)

　　∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)

　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解.

　　2x2+3x=0

　　x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)

　　∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)

　　∴x1=0,x2=-是原方程的解.

　　注意：做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.

　　6x2+5x-50=0

　　(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

　　∴2x-5=0或3x+10=0

　　∴x1=,x2=-是原方程的解.

　　x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2•2,∴此题可用因式分解法）

　　(x-2)(x-2)=0

　　∴x1=2,x2=2是原方程的解.

　　一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数.

　　直接开平方法是最基本的方法.

　　公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）,在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解.