1的立方等于1,1的立方加2的立方等于9,1的立方加2的立方-查字典问答网

来自郭永嘉的问题

　　1的立方等于1,1的立方加2的立方等于9,1的立方加2的立方一直加到n的立方等于多少?n为...1的立方等于1,1的立方加2的立方等于9,1的立方加2的立方一直加到n的立方等于多少?n为正整数

　　1的立方等于1,1的立方加2的立方等于9,1的立方加2的立方一直加到n的立方等于多少?n为...

　　1的立方等于1,1的立方加2的立方等于9,1的立方加2的立方一直加到n的立方等于多少?n为正整数

1回答

2020-01-18 07:03

我要回答

请先登录

高德远

　　1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

　　证明：

　　1^3=1^2

　　1^3+2^3=(1+2)^2

　　1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2

　　综上所述,观察得知:

　　1^3+2^3+3^3+……+n^3=(1+2+3+……+n)^2=n^2(n+1)^2/4

　　当n=1时,结论显然成立

　　若n=k时,结论假设也成立

　　1^3+2^3+3^3+……+k^3=k^2(k+1)^2/4

　　则n=k+1时有

　　1^3+2^3+3^3+……+k^3+(k+1)^3

　　=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3

　　=(k+1)^2(k^2+4k+4)/4

　　=(k+1)^2(k+2)^2/4

　　所以

　　1^3+2^3+3^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4

2020-01-18 07:03:58