蝴蝶定理

　　蝴蝶定理

　　蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.

　　出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2BCSINA.1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.

　　这里介绍一种较为简便的初等数学证法.

　　证明：过圆心O作AD与B牟垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM.SM.MT.

　　∵△SMD∽△CMB,且SD=1/2ADBT=1/2BC,

　　∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B

　　∴△MSD∽△MTB,∠MSD=∠MTB

　　∴∠MSX=∠MTY；又∵O,S,X,M与O,T.Y.M均是四点共圆,

　　∴∠XOM=∠YOM

　　∵OM⊥PQ∴XM=YM

　　如图1,椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b＞r＞0）.

　　（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；

　　（Ⅱ）直线y=kx交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4＞0）.

　　求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

　　（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.

　　求证：|OP|=|OQ|.

　　（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

　　2．北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：

　　（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.

　　（Ⅰ）椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1

　　焦点坐标为

　　（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=kx代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,

　　整理,得

　　(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0

　　根据韦达定理,得

　　x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12),x1·x2=(a2r2-a2b2)/(b2+a2k12),

　　所以x1x2/(x1+x2)=(r2-b2)/2k1r①

　　将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得

　　x3x4/(x3+x4)=(r2-b2)/2k2r②

　　由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)

　　所以结论成立.

　　（Ⅲ）证明：设点P（p,o）,点Q（q,o）.

　　由C,P,H共线,得

　　(x1-p)/(x4-p)=k1x1/k2x4

　　解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)

　　由D,Q,G共线,同理可得

　　q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

　　由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：

　　x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

　　即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

　　所以|p|=|q|,即,|OP|=|OQ|.

　　3．简评

　　本小题主要考查直线与椭圆等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.试题入门容易,第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题,但考查的却都是重点内容.

　　第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题.待证式子中含有x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4这样的对称式,式子结构对称优美,和谐平衡,使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理,启示了证明问题的思路.这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法.解两个联立的二元二次方程组,用代入消元法得到一元二次方程,分离系数利用韦达定理给出关于x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4的表达式,再分别代入待证式两边运算即达到证明目的.证明的过程中,由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”,整个证明过程也令人赏心悦目,感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力.

　　第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件,用到了过两点的直线的斜率公式,分别解出p,q以后,|OP|=|OQ|等价转化成了p=-q（或p+q=0.）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p=-q,关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系.参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程,使人不易看出沟通的线索,以及命题人变形的思路,因此读者理解起来感到困难.如果将两式做如下变形,则思路就显然顺畅自然.

　　设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式,两边同取倒数,得

　　1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3①’

　　设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4②’

　　将①’两边同乘以k1·k2,即得

　　k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

　　它与②’完全一样.这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算.思路的选择有赖于对式子特征的观察联想.

　　综观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力.

　　4．赏析：

　　上面我们看到,试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目,至此,我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的?它的背景是什