二次函数综合题抛物线Y=1/2x的平方+mx+n与直线Y=x交于A、B两点,与Y轴交于点C,OA=OB,BC平行于x轴（1）求抛物线的表达式（2）设D,E是线段AB上异于A,B的两个动点（点E在点D的上方）,DE=根号2,过D,E两
二次函数综合题
抛物线Y=1/2x的平方+mx+n与直线Y=x交于A、B两点,与Y轴交于点C,OA=OB,BC平行于x轴
（1）求抛物线的表达式
（2）设D,E是线段AB上异于A,B的两个动点（点E在点D的上方）,DE=根号2,过D,E两点分别作Y轴的平行线,交抛物线于点F,G,设点D的横坐标为x四边形DEFG的面积为y,求y与x之间的关系式,写出自变量x的取值范围,并回答x为何值时,y有最大值
A（xa,ya）B（xb,yb）C（xc,yc）O（0,0）
因AB在直线y=x上A（xa,xa）B（xb,xb）
因C在y轴上C（0,yc）
BC平行于x轴
则有BC直线方程为y=C则yb=yc=xb
OA=OBxa^2+ya^2=xb^2+yb^2即xa=yc或xa=-yc
因ABC在抛物线上xa=1/2(xa)^2+m(xa)+n
xb=1/2(xb)^2+m(xb)+n
yc=1/2(0)^2+m(0)+n=n
整理的xb=yc=xa=n当1/2n^2+mn=0的n=0m=-1/2n
当n=0时A（0,0）B（0,0）不合题意舍
xb=yc=nxa=-n1/2n^2+mn=01/2n^2-mn+2n=0
解得m=1n=-2
抛物线方程为y=1/2x^2+x-2
2、由题意可知四边形是以DFEG为底的梯形
令D（xd,yd）E（xe,ye）由题意可知D（xd,xd）E（xe,xe）且xe-xd>0
F(xf,yf)G(xg,yg)由题意可知F（xd,1/2xd^2+xd-2）,G(xe,1/2xe^2+xe-2)
DE=根号2则（xd-xe）^2+（xd-xe）^2=2xe-xd=1即梯形的高为1且xe=xd+1
四边形面积=（DF+EG）*h/2
则有y=(|1/2x^2+x-2-x|+|1/2(x+1)^2+x+1-2-(x+1)|)/2
=(|1/2x^2-2|+|1/2(x+1)^2-2|)/2
A(2,2)B(-2,-2)则有x在-2到2之间
当x属于（-2,1）y=(2-1/2x^2+2-1/2(x+1)^2)/2=-1/2x^2-1/2x+7/4
当x属于（1,2）y=(2-1/2x^2-2+1/2(x+1)^2)/2=1/2x+1/4
y=-1/2x^2-1/2x+7/4x属于（-2,1）
y=1/2x+1/4x属于（1,2）
3、
当x属于（-2,1）y=-1/2x^2-1/2x+7/4=-1/2（x+1/2）^2+15/8当x=-1/2时y最大15/8
当x属于（1,2）y=(2-1/2x^2-2+1/2(x+1)^2)/2=1/2x+1/4当x=2时y最大5/4=10/8
所以当x=-1/2时y取最大值15/8