【高中数学选修4-4课后习题已知椭圆的中心为O.长轴,短轴的-查字典问答网
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  【高中数学选修4-4课后习题已知椭圆的中心为O.长轴,短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB.(1)证明OAOB的倒数的平方和为一定值.(2)求三角形OAB的面积最大和最小值.】

  高中数学选修4-4课后习题

  已知椭圆的中心为O.长轴,短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA垂直OB.

  (1)证明OAOB的倒数的平方和为一定值.

  (2)求三角形OAB的面积最大和最小值.谢谢

  用极坐标的方法谢谢

1回答
2020-01-20 23:55
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陈浩宇

  思路:(1)可利用直线OA,OB方程与椭圆方程联立求A,B点坐标满足的一元方程,进而求出A,B的横纵坐标的平方,代入

  1|OA|2+1|OB|2,化简即可.

  (2)由S△AOB=12|OA||OB|,1|OA|2+1|OB|2=a2+b2a2b2,可根据均值不等式求最小值,再根据S△2AOB=

  14|OA|2|OB|2,把|OB|2转化为|OA|2,再根据椭圆中,|OA|范围即可求出面积最大值.

  (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1,设当直线OA斜率存在且不为0时,设方程为y=kx,

  ∵A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.∴直线OB方程为y=-1kx

  设A(x1,y1),b(x2,y2),把y=kx代入x2a2+y2b2=1得x12=a2b2b2+a2k2,∴y12=k2a2b2b2+a2k2

  把y=-1kx代入x2a2+y2b2=1,得x22=a2b2k2a2+b2k2,∴y22=a2b2a2+b2k21|OA|2+1|OB|2=1x12+y12+1x22+y22=1a2b2b2+a2k2+k2a2b2b2+a2k2+

  1a2b2k2a2+b2k2+a2b2a2+b2k2=a2+b2a2b2

  当直线OA,OB其中一条斜率不存在时,则另一条斜率为0此时1|OA|2+1|OB|2=1a2+1b2=a2+b2a2b2

  综上,1|OA|2+1|OB|2为定值

  (2)S△AOB=12|OA||OB|,∴S△2AOB=14|OA|2|OB|2

  由(1)知1|OA|2+1|OB|2=a2+b2a2b2≥21|OA|21|OB|2=2|OA||OB|

  ∴S△AOB=12|OA||OB|≥a2b2a2+b2,∴S△AOBmin=a2b2a2+b2.

  ∵S△2AOB=14|OA|2|OB|2=14|OA|2(1a2+b2a2b2-1|OA|2)

  =14(1a2+b2a2b2|OA|2-1|OA|4),随着|OA|的增加,此函数值在增加

  ∵|OA|≤a,∴S△2AOB≤14(1a2+b2a2×b2×a2-1a4)=14a2b2

  ∴S△AOBmax=ab2

  综上S△AOBmin=a2b2a2+b2,S△AOBmax=ab2

2020-01-20 23:56:17

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