证明给你看,照我说的去画图.

　　画一个ΔABC,A为直角,BC为斜边,在AB上任取一点P、在AC上任取一点Q,取BC中点M,连接PM、QM、PQ,以上是题目给出的图.

　　作辅助线：取AB中点D、AC中点E,连接DM、EM、DE,记PQ与DE的交点为O.

　　下面证明：

　　1、先证ΔDME的周长＞BC

　　由作图可知DM、EM、DE是ΔABC的三条中位线,因此ΔDME是直角三角形,∠DME是直角,且BC=2DE,在ΔDME中,DM+EM＞DE,则：DM+EM+DE＞DE+DE=2DE=BC,

　　即：ΔDME的周长＞BC.

　　2、再证ΔPMQ的周长≥ΔDME的周长

　　P、Q是动点,可能分别与D、E重合,则先看ΔOPD与ΔOQE：

　　1)、P、Q分别与D、E重合时,PD=QE=0,OP=OD,OQ=OE,此时OP+PD=OD,OQ+QE=OE；

　　2)、P、Q与D、E不重合时,在ΔOPD与ΔOQE中,有：OP+PD＞OD,OQ+QE＞OE；

　　综合1)、2),即有：

　　OP+PD≥OD……………………………………………………………………（1）

　　OQ+QE≥OE……………………………………………………………………（2）

　　（1）+（2）得：

　　OP+PD+OQ+QE≥OD+OE…………………………………………………………（3）

　　显然有：OP+OQ=PQ,OD+OE=DE,因此（3）即为：PQ+PD+QE＞DE,移项：

　　PQ≥DE-(PD+QE)………………………………………………………………（4）

　　再看ΔPDM与ΔQEM：

　　3)、P、Q分别与D、E重合时,PD=QE=0,PM=DM,QM=EM,此时PD=PM-DM,QE=QM-EM；

　　4)、P、Q与D、E不重合时,ΔPDM与ΔQEM都是直角三角形,PM、QM为斜边,则有：

　　PD＜PM-DM,QE＜QM-EM

　　综合3)、4),即有：

　　PD≤PM-DM……………………………………………………………………（5）

　　QE≤QM-EM……………………………………………………………………（6）

　　（5）+（6）得：PD+QE≤PM-DM+QM-EM,两边同取负号,得：

　　-(PD+QE)≥DM+EM-(PM+QM)…………………………………………………（7）

　　将（7）代入（4）得：

　　PQ≥DE-(PD+QE)≥DE+DM+EM-(PM+QM),移项得：PQ+PM+QM≥DE+DM+EM,即：

　　ΔPMQ的周长≥ΔDME的周长

　　而前面已证得ΔDME的周长＞BC,因此ΔPMQ的周长≥ΔDME的周长＞BC,即：

　　ΔPMQ的周长＞BC.