广义托勒密定理如何证明?凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大-查字典问答网

来自涂平的问题

　　广义托勒密定理如何证明?凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.如何证明呢?

　　广义托勒密定理如何证明?

　　凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.

　　如何证明呢?

1回答

2020-01-21 01:22

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孙道平

　　在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD

　　则三角形ABE和三角形ACD相似

　　所以BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD(1)

　　又有比例式AB/AC=AE/AD

　　而角BAC=角DAE

　　所以三角形ABC和三角形AED相似.

　　BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD(2)

　　(1)+(2),得

　　AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC

　　又因为BE+ED>=BD

　　所以命题得证

　　当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.

2020-01-21 01:27:21

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