设(1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)≤1/(abc)------(1）

　　证明

　　（1）(abc)^(2/3)*{[bc(1+6ab)]^(1/3)+[ca(1+6bc)]^(1/3)+[ab(1+6ca)]^(1/3)}≤1

　　设bc=x,ca=y,ab=z.则x+y+z=1.

　　上式置换后等价于

　　(xyz)^(1/3)*{[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)})}≤1------(2)

　　因为

　　3*[x(1+6z)]^(1/3)

　　=[3*9x*(1+6z)]^(1/3)

　　≤[3+9x+(1+6z)]/3=(4+9x+6z)/3

　　所以[x(1+6z)]^(1/3)≤(4+9x+6z)/9

　　同理

　　[y(1+6x)]^(1/3)≤(4+9y+6x)/9

　　[z(1+6t)]^(1/3)≤(4+9z+6y)/9

　　故得

　　[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)≤

　　[12+15(x+y+z)]/9=3

　　而(xyz)^(1/3)≤(x+y+z)/3=1/3,即知(2)式成立,

　　所以(1)获证.