问一道考研φ(x)在[a,b]上连续,（a,b)内可导,证明-查字典问答网

来自葛其明的问题

　　问一道考研φ(x)在[a,b]上连续,（a,b)内可导,证明在（a,b)内存在一点ξ,使得φ'(ξ)=(φ(ξ)-φ(a))/(b-ξ)没有分了

　　问一道考研

　　φ(x)在[a,b]上连续,（a,b)内可导,证明在（a,b)内存在一点ξ,使得φ'(ξ)=(φ(ξ)-φ(a))/(b-ξ)没有分了

1回答

2020-01-23 21:39

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胡兵

　　可用罗尔定理证明

　　首先,要证φ'(ξ)=(φ(ξ)-φ(a))/(b-ξ)

　　移项后即证φ'(ξ)(b-ξ)-φ(ξ)=-φ(a)

　　等式左边是φ(x)(b-x)的导数,右边是φ(a)x的导数

　　因此构造函数F(x)=φ(x)(b-x)+φ(a)x

　　F(a)=F(b)=bφ(a)

　　根据罗尔定理,F(x)闭区间连续,开区间可导,因此在[a,b]存在F'(ξ)=φ'(ξ)(b-ξ)-φ(ξ)+φ(a)=0

　　得证

2020-01-23 21:39:55

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