分析：（1）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为y轴,则b=0；然后利用方程与二次函数的关系求得点B、C的坐标,由S△OBC=8可以求得c的值；

　　（2）由抛物线y=-1/4x^2+4交x轴于点A、B,当x=0,求出图象与y轴的交点坐标,以及y=0,求出图象与x轴的交点坐标,即可得出三角形的形状；首先证明△ACD≌△BCF,利用三角形的全等,得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,即可得出答案；

　　（3）如图,连接BE,过点E作EM⊥x轴于点M．易证△ODC≌△DME,则DM=OC=4,OD=EM．易求BM=EM．则∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知,BF⊥AB,故∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

　　（4）由（3）知,点E在定直线上,当点D沿x轴正方向移动到点B时,点E所走过的路程长等于BC的长度．

　　（1）如图,∵AC=BC,

　　∴该抛物线的对称轴是y轴,则b=0．

　　∴C（0,c）,B（根号4c,0）．

　　∵S△OBC=8,

　　∴1/2OC•OB=1/2×c×根号4c=8,解得c=4（c＞0）．

　　故该抛物线的解析式为y=-1/4x^2+4；

　　（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-1/4x^2+4；

　　令y=0,得x1=4,x2=-4,

　　∴A（-4,0）,B（4,0）,

　　∴OA=OB=OC,

　　∴△ABC是等腰直角三角形；

　　如图,又∵四边形CDEF是正方形,

　　∴AC=BC,CD=CF,∠ACD=∠BCF,

　　在△ACD和△BCF中

　　AC＝BC;

　　∠ACD＝∠BCF;

　　CD＝CF;

　　∴△ACD≌△BCF（SAS）,

　　∴∠CBF=∠CAD=45°,

　　∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,

　　∴BF⊥AB；

　　（3）如图,连接BE,过点E作EM⊥x轴于点M．

　　易证△ODC≌△DME,则DM=OC=4,OD=EM．

　　∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM,

　　∴BM=EM．

　　∵∠EMB=90°,

　　∴∠MBE=∠MEB=45°；

　　由（2）知,BF⊥AB,

　　∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

　　（4）由（3）知,点E在定直线上,当点D沿x轴正方向移动到点B时,点E所走过的路程长等于BC=4根号2